Doe de uienschijfjes en 1 theelepel zout in een kom en hussel tot ze gemengd zijn. Doe de uien in een vergiet en laat ze 30 minuten staan, af en toe husselen. Doe de uien in een schone theedoek, pak de randen bij elkaar en knijp zoveel mogelijk vocht uit de uien. Doe dit boven de gootsteen of een grote kom, want de uien zullen behoorlijk wat vocht bevatten.
Verdeel de uien in 4 afzonderlijke hoopjes op een bakplaat met rand. Vorm het rundvlees in 4 licht aangedrukte ballen. Leg de rundvleesballen op de uienhoopjes en druk het rundvlees stevig plat (gebruik je handpalm) zodat de ui aan het rundvlees blijft plakken. De burgers moeten 4 inch in diameter zijn. Bestrooi het rundvlees royaal met zout en peper.
Smelt de boter met de olie in een 12-inch koekenpan op middelhoog vuur. Gebruik een grote spatel om de burgers in de pan te leggen, met de uienkant naar beneden. Bak gedurende 6-8 minuten, tot de uien diep goudbruin worden en aan de randen knapperig worden. Draai de burgers om, verhoog het vuur en bak tot ze aan de andere kant goed bruin zijn, ongeveer 2 minuten.
Voeg 1 of 2 plakjes kaas toe aan elke burger en laat smelten. Voeg mayonaise, mosterd en augurken toe aan de bovenste broodjes en leg elke burger op een onderste broodje. Serveer direct.
